【前言】

 

有些键摄原理，看起来是理所应当，但是，想当然的键摄不是一个好键摄……今天就在这里整理一下一些常用键摄原理的数学证明，给学有余力者作参考，更希望证明的思路和过程能解决大家心里的一些困惑。

有一些之前的推送里发过，有一些并没有，发过的权当存档&复习，大家可以再看一遍~

前方高能预警：

 

警告：阅读下面的知识和推导过程以及结论需要你有一定的数学和物理知识。

 

不具备这些知识而且不想深入了解的纯摄影爱好者，以中大画幅或者徕卡相机玩家or艺术家身份而谜之优越的人士，建议停止阅读，否则后果自负。

 

我们这里讨论的就是相机（或者说成像的理想模型）本身，与能不能拍出好看的照片无关。摄影技术是摄影技术，相机概念是相机概念，强行混淆的，您不如取关我算了。 

 

 

【焦距、画幅与视角关系】

如图所示，理想薄透镜可以等效成一个小孔——类似小孔成像的方式建立几何关系最为直观。其焦距就是OO'，也就是小孔到传感器平面的点面距。

在Rt△AO'O中，很明显满足三角关系：

而焦距为OO'，传感器的对角线长度为2AO'，我们要求的是视角2∠AOO'，所以把上式写成：

即，对角线视角=2arctan（d/2f），d为传感器的对角线尺寸，f为焦距。

p.s：由公式推导过程可以看出，此表达式只适用于物方和像方焦平面均为曲率为0的理想平面（毕竟是最简单的欧氏几何）。鱼眼镜头/未来的曲面传感器等物方或像方焦平面弯曲的系统，不适用此公式。

 

 

【等效焦距】

基本模型同上，不过等效焦距讨论的前提是视角相同，也就是∠AOB=∠A'O'B'。

由于△AOB和△A'O'B'都是等腰三角形，又∠AOB=∠A'O'B'，所以

△AOB∽△A'O'B'

所以

即等效焦距原理：

视角相同的前提下，实际需要的镜头焦距值和传感器的对角线长度成正比。

（有人可能会质疑AB和A'B'实际成的像不一样大，但是别忘了，它们都各自占满了自己画幅的传感器对角线，最终放出来的照片上，等幅面输出时大小一致。）

 

 

【为什么决定曝光的是光圈f值？】

光圈f/值的定义是焦距除以光圈孔径，可能很多人都有相应的疑问，决定通光量的不是光圈孔径么？与焦距有什么关系？

 

实际上：（此段配图来自知乎@章佳杰 大神）

假设一个均匀辐射物亮度是 L，如图所示，物体上一个dS的面积微元，入射到镜头表面的实际光通量是多少呢？

先考虑这么一个问题，照度为L的平行光，入射到面积为S的平面上，夹角为Θ，总能量是多少？

其实就是入射光矢量和平面方向向量的数量积，简单吧？跟力做的功其实差不多是一回事。

好了下面引入微积分：

上图中蓝色的扇环可以视作像方焦平面上的一个面积微元，所以：

又dω=sinu·du·dΘ，所以：

好了，这就是单一微元的入射总能量，现在对这个表达式，在整个入瞳面上进行积分，即：

稍有常识的人都可以看出这个二重积分可以化成累次积分，即：

都是基本积分公式，而且表达式都写成这样了应该是没什么难度，用嘴就能积出来，结果为：

也就是发光面上的一个微元入射到镜头表面上的能量是这些，实际上如果假设镜头的通光率是100%，入射到镜头上的面积元dS到传感器上会被汇聚成dS'，则实际上传感器收到的能量为：

在成像当中我们把它写成：

β是传感器上的像长度跟实际上成像的物长度之比，一般来说都有β<<1（你想想传感器才多大点儿，你平时拍的物体又有多大）。

然后根据光学元件的性质（拉格朗日—亥姆霍兹不变量），可得（此处F即为后续定义的光圈f/值，F=f/A）：

所以：

结论：

在放大率远远小于1的前提下，入射到传感器上的总能量与（焦距/光圈孔径）的平方成反比。

 

推论：

当β不满足远小于1，甚至等于或者大于1的情况下（微距摄影），简化关系不再适用。此时由于β^2>0，总能量会随着放大率的提高而减小，反映到f/值上就会变大。这也是部分品牌的微距镜头在微距拍摄时显示的光圈值会增大，实际曝光量减小的原因。

 

 

【图像的信噪比】

图像可以视为线性系统，计算信噪比时我们把它分为理想无噪信号和平场噪声分量的线性叠加，对于平场噪声分量的信号强度（功率）我们有（Xi是各个像素X的亮度，假设共有n个像素）：

即：信号的强度可以由各个像素亮度求平均值来计算。

对于噪声功率，可以以如下方式考虑：

定义：图像噪声为像素的亮度相对于总体成像亮度均值的偏差，即：

这里的总体均值我们并不知道，所以我们由样本均值对其进行估计，也就是由上面的图像亮度S替代总体均值，即：

由于噪声的影响，实际拍摄图片中某像素的亮度可能会增高，也可能会降低。为了反映实际偏差的绝对值，我们用sqrt[(Xi-S)^2]代替N0，即：

最后把所有像素的噪声强度叠加，来反映实际拍摄图片中噪声的强度：

所以最终的信噪比：

在数学上恰好等于各个像素亮度值的平均值除以标准差。

结论：

对于理想的灰场图像，或者实际图像的灰场噪声分量而言，其信噪比等于全部像素亮度的平均值除以它们的标准差。

 

 

【堆栈提升信噪比的原理和幅度】

在上面一节当中我们有了结论，若一张图片有n个像素，其灰场分量的各个亮度分别记作Xi，则

假设我们拍摄k张图做平均值叠加，由于参与叠加的原始图片来自于同一台相机，而且拍摄时间相距很近，所以可以认为这k次拍摄相当于同一个样本空间中的多次抽样，那么每一个样本都与总体同分布（即有着相同的噪声强度分布特征（实际上对于理想传感器而言都是正态分布）），那么对于分子上的平均值，我们有：

所以我们有了结论：在图片做均值叠加（堆栈）前后，信号的强度（平均值）不变。

下面来看噪声（标准差），实际上直接计算标准差有点麻烦，从方差入手会简单一些：

我们有方差的计算式：

所以：

在这个证明里有个关键条件就是

意义是每张图片的像素亮度之间协方差（线性相关性）为0，必须全为随机噪声（散粒噪声是随机噪声），也就意味着，堆栈的过程当中相机所处的状态不能有大变动，甚至使用带五轴的机器这种持续积热传感器不断升温的情况能不能完全堆栈消除噪声，都很难讲。

结论：k张均值叠加后的图像亮度方差等于单张图像的1/k。标准差为1/sqrt(k)，信噪比为原来的sqrt(k)倍。

所以要想将信噪比提升N档（2^n倍），需要堆栈的图片张数为2^2n。

接片同理。

 

 

【等效光圈原理1——虚化】

首先简单介绍一下景深的物理定义：

理论上来说，只有位于某一特定平面的点光源（下图点A）所发散出的光线才可以被理想镜头在底片上重新还原为一个点（A'）。偏离点A所在平面的点光源（B）将汇聚在另一平面上（B'），导致其在底片上形成一个光斑，也就是所谓的弥散圆（Circle of Confusion）。

B点离A点越远，则弥散圈越大，大到一定程度后B点便被虚化。A点前后能清晰成像（弥散圆直径小于一定值）的范围被称为景深。

用简单的中学几何知识很容易算出弥散圆直径（称为C）：

（很明显由B'点分开的左右两个蓝色三角形相似）。其中D为光阑的物理直径，即D=f/F（焦距/光圈F值）。

根据高斯公式1/u+1/v=1/f（1/像距+1/物距=1/焦距），代入上式得到：

因为一般来说Ua>>f（物距远大于焦距在非微距摄影当中都基本成立），故公式可以简化为：

设有大小不同的两块底，大底的边长是小底的x倍，很明显此时根据等效焦距关系有：（此时应该保证Ua、Ub都相等，因为必须同构图，讨论才有意义）

所以我们得出了一个结论：对于同构图、同摄距、同光圈f/值的不同画幅系统来说，画幅对角线长度为1/x的小底，其弥散圆直径是大底的1/x^2。

不过并没有完。实际有意义的值不是弥散圆的绝对大小，而是弥散圆的直径与传感器边长之比（假设大小底的像素相同），所以用△Cx表示弥散圆的相对大小的话，有：

结论：小底相机在使用同样的光圈f值的情况下，其实际有效弥散圆直径只有大底相机的1/x。为了补偿这一差距，小底相机需要将光圈孔径开大x倍，xF这个数值，就是景深这里的等效光圈。其折算倍率等于焦距折算倍率，也即传感器的边长之比。

 

 

【等效光圈原理2——信噪比】

信噪比这一块的证明需要大家明确一个前提条件：

在相机的弱光、高ISO、正常拍摄的条件下，传感器本身的噪声对于出片噪声的影响是微乎其微的，绝大部分噪声都来自于光本身量子特性产生的散粒噪声（Shot Noise）。

 

散粒噪声就像你在下雨天拿一堆盆子接水，雨滴落下是随机的，就算你知道本地的降雨量是9mm，接1个小时，你也无法保证这一堆盆子的接水滴数完全相同，而很明显，降雨强度越大、单个盆子面积越大，这一些盆子之间接水总数的百分比差距也越小。把几个小盆子拼成一个大盆子，也能起到类似的效果。

 

上面是定性的描述，以下是定量的证明：

 

用一个简化模型就可以很好的证明散粒噪声信噪比的表达式：

 

假设总曝光时间内整块传感器吸收的光子平均能量为m，在曝光时间（0，T）内分成n份，n足够大，T/n划得足够细，所以每个单位时间T/n内传感器只有两种状态，要么吸收了1个光子，要么没有吸收光子。

这个极短的时间内传感器吸收了一个光子的概率为mT/n，没有吸收光子的概率就是（1-mT/n）。很显然，各个T/n小段之间是否能吸收到光子这是一个独立事件，所以可以按照二项分布的公式写出：

令n趋于无穷，则mT/n趋于0，得

好了，假设你是一个学渣，没有一眼看出这玩意是泊松分布，以及它的期望（信号强度）和标准差（噪声强度）是多少的话，OK，我们按照概率统计的基本原理，继续去计算它的信噪比：

好了，这是散粒噪声的信号强度——等于入射到像面上的光子的平均功率，乘以照射时间。

所以啊，数学就是这么个东西，负责把人话用人看不懂的方式说出来。

然后是噪声强度，一如既往，我们从方差入手：

结论：散粒噪声的信噪比正比于入射光总能量的平方根。

再加上前面说曝光的结论：

即：

入射光强度和传感器面积相同的前提下散粒噪声的信噪比反比于光圈值f/。

入射光强度和f/值相同的前提下散粒噪声的信噪比正比于传感器面积的平方根，也就是传感器尺寸的相似比（等效系数）。

 

【等效光圈原理3——衍射】

对于衍射的分析其实和弥散圆类似，实际上对应的都是点扩散函数：

对于确定光圈值的镜头，其艾里斑大小为：

r=1.22λf/d

在同样的入射光下才有对比的价值，因此艾里斑的半径反比于f/d，即光圈的f/值。

但是，实际上我们关心的不是艾里斑本身有多大，而是这个斑占传感器边长的比例，设同样的f/制光圈下，大小底对角线比为n，则小底的艾里斑相对尺寸为r'=1.22λf/dn，大底的艾里斑相对尺寸就是r=1.22λf/d，实际衍射强度对比正好也是n。

结论：焦距折算倍率为n的小底相对于全画幅，其衍射极限光圈是全幅的1/n。

 

 

【最后】

嗯，暂时想到的有帮助的证明就这些……如果大家看完之后觉得我忘记了什么，还需要补充的话，嗯，留待以后慢慢搞好了……